Гармонический ряд - это бесконечная сумма обратных натуральных чисел: 1+1/2+1/3+1/4+... Известно, что такая сумма стремится к бесконечности, и существует множество доказательств этого факта. Ниже я привожу обоснование на пальцах, которое с одной стороны интуитивно понятное, а с другой достаточно строгое. ## Кратко Идея состоит в том, что если все слагаемые разделить на 2, то получатся только чётные слагаемые исходного ряда. Стало быть если бы ряд сходился, то сумма его чётных элементов была бы равна половине от общей суммы. А следовательно, этой же половине была бы равна и сумма нечётных элементов. Но, сравнивая по порядку, каждый нечётный элемент больше каждого чётного: 1/(2k-1) > 1/(2k). Это противоречние доказывает, что мы не можем говорить о сумме гармонического ряда как о конечном числе. Поэтому имеет место расходимость. ## Строго Допустим, что гармонический ряд сходится и равен некоторому $$ S < \infty $$: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = S $$ Мы можем группировать слагаемые по парам нечётное-чётное, поэтому: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} \right) = S $$ С другой стороны мы можем исходное выражение разделить на $$ 2 $$: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} = \frac{S}{2} $$ Вычитая одно из другого, получаем: $$ \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} \right) - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} = S - \frac{S}{2} $$ $$ \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k} \right) = \frac{S}{2} $$ $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} = \frac{S}{2} $$ Мы получили результат, что: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} $$ С другой стороны сравнивая почленно для любого $$ k $$ мы имеем $$ \frac{1}{2k-1} > \frac{1}{2k} $$, поэтому: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} > \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} $$ Это противоречие доказывает, что изначальное предположение о сходимости гармонического ряда к некоторому $$ S < \infty $$ неверно. Поэтому гармонический ряд расходится.