Мы рассмотрим быстрый алгебраический подход, начиная с простых многочленов, а дальше, развивая мысль, мы естественным образом сначала придём к пониманию числа $$ e $$ (которое большинству известно как основание натурального логарифма) и далее к числу $$ \pi $$ (без геометрии, а из естественного свойства, связанного с умножением). ## Многочлены Многочленом называют следующую функцию от $$ x $$, составленную только из сложений и умножений: $$ P_n(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ... + c_n x^n $$ Числа $$ c_0, c_1, ..., c_n $$ называются коэффициентами многочлена, а $$ n $$ - порядком или степенью многочлена. Пример: $$ x^3 + 5x^2 - 2x + 7 $$ Если обобщать, то понятие многочлена существует в любом так называемом поле - множестве, в котором заданы операции сложения и умножения, от которых ожидается некоторое естественное поведение (строго они определяются через аксиомы поля). То есть коэффициенты $$ c $$ и аргумент $$ x $$ не обязаны быть именно вещественными числами, а могут быть ограничены только рациональными или элементами некоторого конечного поля Галуа, или даже комплексными числами. Многочлены можно складывать, вычитать, умножать, а также делить с остатком. Пример произведения многочленов: $$ (x - 1) \cdot (x - 3) = x^2 - 4x + 3 $$ Если многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов более низкого порядка, то он называется неприводимым. Например, в рамках вещественных чисел неприводимым многочленом является: $$ x^2 + 2x + 2 $$ То есть невозможно придумать многочлены первой степени, чтобы они в произведении давали данный. Очень важно отмечать, внутри каких конкретно чисел мы рассматриваем неприводимость, потому что в одних множествах многочлен может быть неприводимым, в то время как в других вполне себе раскладываться. Для комплексных чисел даже существует так называемая "основная теорема алгебры", которая говорит о том, что любой многочлен может быть представлен в виде произведения многочленов только первой степени. Мы далее будем рассматривать случаи вещественных и комплексных чисел. Если обычные вещественные числа помнят все, то мотивацию комплексных чисел необходимо напомнить. ## Комплексные числа Основная идея изобретать новые числа связана с тем, что не все многочлены для вещественных чисел приводимы. Наиболее простой неприводимый многочлен имеет вид: $$ x^2 + 1 $$ Его неприводимость связана с тем, что соответствующее уравнение $$ x^2 + 1 = 0 $$ не имеет решений в вещественных числах. Или говорят, что у данного многочлена нет корней. В математике существует так называемая процедура расширения, идея которой состоит в том, что если во множестве нет элемента, обладающего каким-либо свойством (в данном случае нет корня уравнения $$ x^2 + 1 = 0 $$), то мы говорим, что хотим рассматривать более широкое множество (оно и называется расширением), в котором есть такой элемент, а также сохраняются все необходимые свойства. Допущение существования такого элемента чаще всего влечёт за собой другие связанные с ним элементы (обычно через сложнение или умножение). Если мы для нашего случая добавляем такой элемент - корень уравнения $$ x^2 + 1 = 0 $$ - то получается множество комплексных чисел (по определению). Также мы требуем сохранение свойств поля: чтобы можно было складывать, вычитать, умножать, делить такие числа, а скобки раскрывались для нас привычным образом. Традиционно этот новый элемент называется мнимой единицей и обозначается $$ i $$. Его ещё записывают как $$ \sqrt{-1} $$, чтобы подчеркнуть, что его формальная подстановка в $$ x^2 + 1 $$ действительно приводит к 0. Так как мнимая единица - это своего рода особый элемент, то его сложение с обычными вещественными числами не может приводить к другим вещественным числам (иначе бы мнимая единица была бы просто каким-то вещественным числом). Поэтому комплексные числа обязаны иметь вид, состоящий отдельно из просто вещественного числа (действительная часть) и другого вещественного числа (мнимая часть), которое умножено на мнимую единицу. Например: $$ 3 - 4i $$ Сложение и вычитание для действительной и мнимой частей производятся отдельно. А вот с умножением интереснее: нужно сначала умножить такие числа как многочлены, а там, где получилось $$ i^2 $$, заменить на $$ -1 $$. На этом шаге мы остановимся подробнее, потому что именно этот аспект раскрывает важнейшее свойство, приводящее к числу $$ \pi $$. Пример умножения: $$ (1 + 2i) \cdot (3 - 4i) = 3 - 4i + 6i - 8 i^2 = 11 + 2i $$ Именно такие правила для арифметических операций над комплексными числами гарантируют, что полученное множество является полем. Далее оказывается, что наличия мнимой единицы $$ i $$ достаточно, чтобы любой многочлен мог быть представлен в виде произведения многочленов первой степени ("основная теорема алгебры", мы не будем её доказывать, она достаточно сложна для текущего повествования). Также это свойство ещё произносят как: любой многочлен степени $$ n $$ имеет ровно $$ n $$ комплексных корней. Следовательно, дальше расширять множество комплексных чисел не имеет смысла - оно уже и так максимальное. По крайней мере по отношению к нужным нам свойствам многочленов. ## Бесконечные многочлены Если мы не будем ограничиваться старшей степенью многочлена, то подобная конструкция называется бесконечным многочленом или рядом, зависящим от $$ x $$. В нём уже бесконечное количество коэффициентов, и нужно быть осторожным, потому что бесконечная сумма может не сойтись и дать бесконечный результат. Поэтому для аргумента $$ x $$ обычно рассматривают некоторую область, внутри которой бесконечный многочлен сходится. Например, рассмотрим многочлен: $$ 1+x+x^2+x^3+... $$ Он является рядом для разложения функции $$ \frac{1}{1-x} $$ при $$ x=0 $$ и сходится только внутри комплексного круга $$ |x|<1 $$. ## Производная Производная - это то, как растёт функция $$ f(x) $$ при стремящемся к нулю смещении $$ \Delta $$ вблизи выбранного аргумента $$ x $$ в линейном приближении. Так как мы имеем дело с многочленами, то нам интересно рассмотреть именно производную степенной функции $$ f(x) = x^n $$. Для этого рассмотрим разность значений функции со смещением $$ \Delta $$ и без: $$ (x+\Delta)^n - x^n = (x^n + n x^{n-1} \Delta + ...) - x^n = n x^{n-1} \Delta + ... $$ Для нас существенно только слагаемое $$ n x^{n-1} \Delta $$, поскольку остальные имеют старшую степень по $$ \Delta $$, а следовательно убывает быстрее. Поэтому производная равна $$ n x^{n-1} $$: $$ (x^n)' = n x^{n-1} $$ Чтобы вычислить производную многочлена, необходимо применять только это правило к каждому члену по отдельности. Например: $$ (1+x+x^2+x^3+x^4+...)' = 1+2x+3x^2+4x^3+... $$ В общем случае так можно делать не всегда, но мы опустим этот нюанс в данной статье. ## Экспонента За определение экспоненты можно взять некоторую функцию $$ \exp x $$, производная ряда которой равна самому себе. Но так как производная степенной функции понижает степень на 1, нам потребуется именно бесконечный ряд. $$ \exp x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... $$ Восклицательный знак - это операция факториала, то есть произведение натуральных чисел от 1 до данного. Например: $$ 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $$. Нетрудно заметить, что при взятии производной каждое слагаемое превращается в предыдущее, что и делает производную всего ряда равную самому себе. Например: $$ \left( \frac{x^4}{4!} \right)' = \frac{4x^3}{4!} = \frac{x^3}{3!} $$ В нуле экспонента равна 1: $$ \exp 0 = 1 $$ Можно доказать, что данный ряд сходится при любом комплексном $$ x $$, потому что факториал растёт существенно быстрее степени. ### Произведение экспонент Здесь нам потребуется вспомнить бином Ньютона, который даёт рецепт вычисления коэффициентов в разложении произвольной степени суммы: $$ (a+b)^m = C_m^0 a^m + C_m^1 a^{m-1} b + C_m^2 a^{m-2} b^2 + ... + C_m^m b^m $$ $$ C_m^k = \frac{m!}{k! (m-k)!} $$ Теперь перемножим ряды для двух экспонент: $$ \exp a \cdot \exp b = \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{b^k}{k!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{a^n b^k}{n! k!} $$ Далее мы заменим $$ n = m-k $$, при этом $$ m $$ должен будет меняться от $$ k $$ до бесконечности: $$ \sum_{k=0}^\infty \sum_{m=k}^\infty \frac{a^{m-k} b^k}{(m-k)! k!} $$ Теперь меняем порядок индексов суммирования: $$ \sum_{m=0}^\infty \sum_{k=0}^m \frac{a^{m-k} b^k}{(m-k)! k!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^m \frac{m!}{k! (m-k)!} a^{m-k} b^k = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^m C_m^k a^{m-k} b^k $$ И здесь мы уже можем разглядеть бином Ньютона во внутренней сумме: $$ \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} (a+b)^m = \exp (a+b) $$ Таким образом мы доказали, что произведение экспонент есть экспонента суммы: $$ \exp a \cdot \exp b = \exp (a+b) $$ Данное свойство будет работать не только для вещественных, но и комплексных $$ a,b $$. В частности из этого свойства следует, что $$ \exp (-x) = \frac{1}{\exp x} $$, поэтому для $$ x $$ стремящихся к минус бесконечности экспонента стремится к 0. А также при вещественных $$ x $$ экспонента всегда положительна. ### Число е Возьмём за определение числа $$ e $$ значение экспоненты в 1: $$ e = \exp 1 = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... $$ Далее, учитывая только что доказанное свойство для произведения экспонент, нетрудно заметить, что произвольная степень числа $$ e $$ - это экспонента от $$ n $$: $$ e^n = \exp n $$ Это свойство обобщают для любого комплексного аргумента $$ x $$ и записывают экспоненту, как возведение $$ e $$ в степень $$ x $$: $$ \exp x = e^x $$ ## Логарифм По отношению к вещественным $$ x $$ экспонента является строго возрастающей функцией. Поэтому для неё существует обратная и она называется натуральный логарифм: $$ \ln x $$ Из свойства произведения экспонент получаем аналогичное свойство для логарифма: $$ \ln (ab) = \ln a + \ln b $$ $$ \ln (1/a) = - \ln a $$ Правило для производной обратной функции даёт нам: $$ (\ln x)' = \frac{1}{\exp (\ln x)} = \frac{1}{x} $$ При $$ x=0 $$ мы не можем рассматривать логарифм, потому что как было показано выше его значение уходит в минус бесконечность. Зато можем рассмотреть ряд вблизи точки $$ x=1 $$, потому что $$ \ln 1 = 0 $$. Для производной: $$ (\ln (1+x))' = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + ... $$ Вспоминая, как работает производная степени, а также используя $$ \ln 1 = 0 $$, строим такой ряд для логарифма, чтобы его производная соответствовала вычисленному выше ряду: $$ \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... $$ Стоит отдельно отметить, что данный ряд сходится в круге $$ |x| < 1 $$, а не на всей комплексной плоскости. Также логарифм ещё интересен тем, что он имеет множество ветвей, но мы не будем сейчас на этом останавливаться. Хоть это и красивое, но достаточно сложное свойство, выходящее за рамки статьи. В частности интересной константой является логарифм 2, вычисляемый рядом: $$ \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... $$ Но это не самый эффективный способ вычисления на практике. Можно чуть перестроить ряд, рассмотрев $$ x = -1/2 $$ и получив более быстро сходящееся выражение: $$ \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + ... \approx 0.693147... $$ ## Экспонента от мнимого числа ### Синус и косинус Если мы в ряд для экспоненты подставим мнимый аргумент, то получим, что чётные его слагаемые приобретут множители $$ i^2=-1, i^4=1, i^6=-1, ... $$, которые являются действительными числами, а нечётные по такому же принципу окажутся чисто мнимыми слагаемыми. Их можно отдельно сгруппировать: $$ e^{ix} = 1 + ix + \frac{i^2 x^2}{2!} + \frac{i^3 x^3}{3!} + \frac{i^4 x^4}{4!} + ... = $$ $$ = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... \right) $$ По определению будем считать, что действительная часть называется косинусом, а мнимая - синусом: $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... $$ $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... $$ $$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $$ Последнее выражение называется формулой Эйлера. В частности если перемножить $$ e^{ix} $$ и $$ e^{-ix} $$, мы получаем основное тригонометрическое тождество: $$ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$ ### Синус и косинус суммы Рассмотрим сумму аргументов в формуле Эйлера: $$ e^{i(a+b)} = \cos (a+b) + i \sin (a+b) $$ Далее экспоненту разложим в произведение экспонент, подставив формулу Эйлера вновь: $$ e^{i(a+b)} = e^{ia} \cdot e^{ib} = (\cos a + i \sin a) \cdot (\cos b + i \sin b) $$ И в этом месте нам потребуется воспользоваться рассмотренным выше правилом умножения комплексных чисел. Получаем в итоге результат: $$ (\cos a + i \sin a) \cdot (\cos b + i \sin b) = (\cos a \cos b - \sin a \sin b) + i (\sin a \cos b + \cos a \sin b) $$ Это в свою очередь даёт нам правила вычисления синуса и косинуса от суммы в аргументе: $$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$ $$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $$ ### Число пи По ряду для косинуса видно, что его значение при $$ x=0 $$ положительно (равно 1), а при $$ x=2 $$ отрицательно: $$ \cos 2 = 1 - \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{4!} - \frac{2^6}{6!} + ... < 1 - \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{4!} = - \frac{1}{3} < 0 $$ Стало быть существует такое значение $$ x $$, при котором косинус равен 0, а синус равен 1 (согласно основному тригонометрическому тождеству). Следовательно, $$ e^{ix} = i $$ для такого случая. Сложим этот $$ x $$ с собой, получая по формулам сложения -1 для косинуса и 0 для синуса. По определению это значение аргумента называется числом $$ \pi $$: $$ e^{i\pi} = -1 $$ Таким образом мы получили, что число $$ \pi $$ - это минимальное положительное $$ x $$, при котором $$ e^{ix} = -1 $$. Почему минимальное? Потому что если мы дальше удвоим этот аргумент, то получим для него $$ e^{2 \pi i} = 1 $$, что то же самое, что и $$ e^0 $$. А дальше в то же значение косинуса -1 сможем вернуться ещё одним домножением на $$ e^{i\pi} $$. Таким образом мы заодно доказали периодичность синуса и косинуса - период составил $$ 2 \pi $$. В каком-то смысле для одной из ветвей логарифма можно записать такое определение для $$ \pi $$: $$ \pi = i \ln (-1), 0 < \pi < 4 $$ ### Арктангенс Мы только что определили число $$ \pi $$. Теперь займёмся нахождением ряда для его эффективного вычисления по аналогии с тем, как мы делали для логарифма. Исходя из производной степени очевидно, что производные синуса и косинуса сменяют друг друга с точностью до знака: $$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\cos x)' = - \sin x $$ Тангенс по определению есть отношение синуса к косинусу. Определим его производную: $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$ $$ (\tan x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x $$ Обратная к тангенсу функция называется арктангенсом. Вычислим её производную через обратную функцию: $$ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + \tan^2 (\arctan x)} = \frac{1}{1+x^2} $$ Мы получили уже знакомый нам ряд (как у логарифма), но с квадратичным аргументом. Поэтому: $$ (\arctan x)' = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... $$ Данный ряд сходится в круге $$ |x| < 1 $$. Теперь согласно свойству производной степени построим ряд для арктангенса таким образом, чтобы его производная была равна полученному. Учтём, что тангенс в нуле равен 0. $$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ... $$ Нам также ниже понадобится формула тангенса суммы, вытекающая из синуса и косинуса суммы: $$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} $$ Как мы установили выше, $$ \cos \pi = -1, \sin \pi = 0 $$. А для половинного аргумента у нас получалось $$ \cos \frac{\pi}{2} = 0, \sin \frac{\pi}{2} = 1 $$. Мы можем составить комплексное число $$ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} $$ и показать, что оно равно $$ e^{i\pi/4} $$, то есть соответствует $$ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$. Чтобы это доказать, достаточно умножить такое число на себя и получить $$ i $$, которое соответствует аргументу $$ \frac{\pi}{2} $$. Из этого следует, что: $$ \tan \frac{\pi}{4} = 1 $$ $$ \arctan 1 = \frac{\pi}{4} $$ Получаем ряд для вычисления числа $$ \pi $$: $$ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... $$ Но данный ряд сходится медленно и не годится для высокой точности. Можно воспользоваться следующим фактом, связанным с тангенсом суммы. Рассмотрим два числа: $$ c_1 = \arctan \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} - \frac{1}{7 \cdot 2^7} + ... $$ $$ c_2 = \arctan \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \frac{1}{5 \cdot 3^5} - \frac{1}{7 \cdot 3^7} + ... $$ Вычислим тангенс их суммы: $$ \tan (c_1 + c_2) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 1 $$ Стало быть: $$ \frac{\pi}{4} = c_1 + c_2 = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = $$ $$ = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} - \frac{1}{7 \cdot 2^7} + ... \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \frac{1}{5 \cdot 3^5} - \frac{1}{7 \cdot 3^7} + ... \right) $$ Данные два ряда сходятся достаточно быстро, чтобы посчитать $$ \pi $$ с высокой точностью. $$ \pi \approx 3.1415926... $$ ## Резюме Мы в итоге установили два рабочих определения. Для числа $$ e $$ как сумма ряда: $$ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... \approx 2.718281828... $$ Для числа $$ \pi $$ как минимальный положительный корень уравнения: $$ e^{ix} = -1 $$ $$ \pi \approx 3.1415926... $$