Для большинства людей квантовая механика является магией, к которой даже притронуться страшно. Потому что существует убеждение, что это самое сложное для понимания из возможного. А также если брать в руки тематические книги, то они чаще всего напичканы математическими иероглифами и терминами, что быстро снижает мотивацию. Но что, если я вам скажу, что непосредственно физический смысл квантовой механики достаточно прост, а видимая сложность рождается исключительно из-за того, что простые по своей сути вещи упираются в сложные для обсчёта конструкции? Ниже на простейшем примере я покажу всю квантовую суть, где мы встретим и неопределённость, и суперпозицию, и отдельные частицы как порции энергии. Акцент сделан прежде всего на физику: на принципы, по которым работает наш мир, а математика потребуется для наглядности. Рекомендуется к прочтению тем, кто знаком с базовой математикой, комплексными числами, а также аналитической геометрией. Вы должны понимать разницу между вектором и числом и помнить кое-что из теории вероятностей о том, как считается математическое ожидание. Для простоты мы везде будем максимально ограничивать систему рассмотрения, чтобы не загромождать формулы. Будем полагать, что у нас только одномерный случай, с единственной точечной частицей, масса которой равна 1 (и не важно, это 1 килограмм, 1 грамм и что-либо ещё) - иными словами, мы нигде в формулах не будем писать массу $$ m $$, потому что она всегда равна 1. Это же касается и расстояния, и времени, и многих других коэффициентов. ## Фазовое пространство По каким-то неведомым причинам мир устроен таким образом, что состояние частицы в каждый момент времени определяется исключительно её координатой $$ x $$ и импульсом $$ p $$ (импульс - это буквально скорость, если масса равна 1). Это можно понять следующим образом. Представьте себе, что вы смотрите футбольный матч и фотографируете игру в какой-то момент. По фотографии, если она чёткая, невозможно будет сказать, в какую сторону и с какой скоростью летит мяч, где он окажется через одну секунду, две. Фотография показывает положения предметов в пространстве, но этого не достаточно, чтобы прогнозировать эволюцию системы в будущее. Но если бы у нас был некий второй магический фотоаппарат, который фотографирует скорости, то вместе с пространственной фотографией информации было бы достаточно для прогноза. Разумеется, нам потребовались бы знания о гравитации, ветре и прочих частях системы. Но законы физики так устроены, что если предельно точно знать координаты (положения) и импульсы (скорости) всех частей системы, то дальше через правила взаимодействия (силы) можно решить так называемую основную задачу механики - определить положения всех тел на любой момент времени. В самом общем случае импульс не является скоростью и в редких случаях может не выражаться только лишь через скорость, но мы опустим такие нюансы. Данные усложнения нам сейчас ни к чему. Факт о нашей вселенной состоит в том, что координаты и импульса достаточно. Нам не нужно знать ускорения (скорость изменения скорости) или чего-то ещё. Это свойство реальности всегда постулируется и ниоткуда не выводится (по крайней мере по состоянию физики на сегодняшний день) и в частности подчёркивается вторым законом Ньютона: $$ F = ma $$ В нём явно указывается, что сила $$ F $$, являющаяся сиюминутным воздействием на предмет массы $$ m $$, однозначно определяет его ускорение. То есть ускорение - это не внутренний параметр состояния предмета, который он как бы "несёт с собой", а нечто, что определяется исключительно внешним. Это ускорение в свою очередь в следующий момент времени подправит скорость, что в свою очередь скажется и на координате предмета по цепочке. Я выше специально написал 2-й закон Ньютона с массой $$ m $$ для узнаваемости, хотя с $$ m = 1 $$ формула выглядела бы намного проще $$ F = a $$ и имела бы интерпретацию: внешнее воздействие на предмет и есть его ускорение (то есть скорость изменения скорости). Для частицы в одномерии фазовое пространство можно представить себе плоскостью, где по горизонтальной оси отложена координата, а по вертикальной - импульс. Состояние частицы - это точка на такой плоскости. ## Эволюция как движение в фазовом пространстве В процессе эволюции состояние частицы изменяется во времени. Графически это можно представить как движение точки на плоскости. Например, для колеблющегося маятника (имеем в виду так называемый математический маятник: малые колебания) эволюция будет выглядеть равномерным движением точки по окружности, радиус которой определяется амплитудой колебания (или энергией). На самом деле для произвольного маятника движение будет не по окружности, а по эллипсу, но если правильно подобрать соотношение массы, длины нити и гравитации, то можно добиться именно окружности, или также достаточно изменить единицы измерения импульса или координаты для выравнивания полуосей. Для того, чтобы в общем случае определять эволюцию, теоретическая механика предлагает так называемый гамильтонов формализм. Он состоит в том, что вводится некая функция Гамильтона (гамильтониан), которая зависит от координаты и импульса (состояния), значение которой равно энергии системы. Например, для маятника такой гамильтониан выглядит вот так: $$ H(x, p) = \frac{x^2}{2} + \frac{p^2}{2} $$ Почему это удобно? Потому что теоретическая механика предлагает множество подходов о том, как строить такие гамильтонианы для очень сложных случаев, чтобы определять эволюцию произвольной системы, включая даже поля, а также определять интересные особенности поведения (например, так называемые интегралы движения - свойства, которые неизменны во времени). Эволюция (то есть изменение координаты и импульса) строится из гамильтониана следующим образом для общего одномерного случая: $$ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} $$ $$ \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial x} $$ Здесь точка сверху - это производная по времени (скорость изменения), а символ $$ \partial $$ обозначает частную производную - это производная в предположении, что остальные аргументы в функции ведут себя как константы. Для эволюции произвольного параметра системы $$ A $$ (который в общем случае зависит от состояния - координаты и импульса) мы имеем следующее: $$ \dot{A} = \frac{\partial A}{\partial x} \dot{x} + \frac{\partial A}{\partial p} \dot{p} = \frac{\partial A}{\partial x} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial x} = \\{ H, A \\} $$ Здесь $$ \\{ H, A \\} $$ называется скобками Пуассона по определению. Это операция разности произведений частных производных по координате и импульсу, как написано выше относительно $$ H $$ и $$ A $$. В частности для написанного выше гамильтониана маятника (его ещё называют гармоническим осциллятором) легко взять производные от квадратичной функции и получить уравнения движения: $$ \dot{x} = p $$ $$ \dot{p} = - x $$ Если это решить математически (мы это делать не будем, но легко убедиться подстановкой), то с точностью до сдвига по времени решение вот такое: $$ x(t) = A \sin t $$ $$ p(t) = A \cos t $$ Где $$ A $$ - это амплитуда. Это и есть равномерное движение по окружности в фазовом пространстве с радиусом $$ A $$. Чтобы вычислить энергию такого движения, достаточно подставить решение в гамильтониан, вспомнить основное тригонометрическое тождество, которое нас избавит от зависимости от времени, и получить значение $$ E = \frac{A^2}{2} $$. Можно сделать вывод, что энергия колебания определяет радиус движения в фазовом пространстве. Причём, и энергия, и радиус абсолютно произвольны - это не нарушает никакой логики выше. Запомним этот результат, потому что дальше в квантовом случае мы получим кое-что кардинально другое. ## Квантовое пространство состояний Если теперь рассмотреть квантовую частицу в одномерном пространстве, то её состояние определяется не точкой в фазовом пространстве, а более сложно - вектором в некотором пространстве состояний (в гильбертовом пространстве). Обычно такой вектор обозначают вот так: $$ |\psi> $$ Данное пространство с одной стороны сложнее фазового, так как обычно его размерность гораздо выше (например, бесконечность), но зато у него есть целый ряд дополнительных свойств, которые включают геометрическую интуицию и делают систему понятнее, а иногда даже проще. Например, в этом пространстве состояний существует так называемое скалярное произведение двух состояний (векторов), которое очень похоже на обычное скалярное произведение в геометрии, но всё-таки отличается тем, что его значением является комплексное число (с действительной и мнимой часью), а также порядок умножения имеет значение: при перестановке множителей берётся сопряжённое значение (меняется знак перед мнимой частью). Скалярное произведение векторов $$ |\psi_1> $$ и $$ |\psi_2> $$ записывается вот так: $$ <\psi_1|\psi_2> $$ У скалярного произвеления есть физический смысл. Его модуль в квадрате является вероятностью в процессе измерения состояния $$ |\psi_2> $$ получить $$ |\psi_1> $$. $$ P = \Big| <\psi_1|\psi_2> \Big|^2 $$ Другими словами, измерение в квантовой механие - это проекция вектора на какой-то из базисных векторов. А на какой именно вектор произойдёт проекция, зависит от фундаментальной случайности, ни от чего не зависящей. Квантовая механика на практике измеряет и исследует именно такие вероятности, а не конкретику. Квадрат длины - это скалярное произведение состояния на себя, которая для физических состояний должна быть равна 1 (как вероятность): $$ <\psi|\psi> = 1 $$ Данное пространство линейно. Это означает, что если мы сложим два вектора с комплексными коэффициентами, то получим какое-то третье состояние. Это абсолютно нормально для квантовой механики, разве что нужно не забывать, что новое состояние также должно быть физичным - коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы итоговая длина также была равна 1. $$ |\psi> = \alpha_1 |\psi_1> + \alpha_2 |\psi_2> $$ $$ |\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 = 1 $$ Данная процедура называется суперпозицией. Говорят, что состояние $$ |\psi> $$ является суперпозицией состояний $$ |\psi_1> $$ и $$ |\psi_2> $$. Если рассмотреть вероятности измерений $$ |\psi_1> $$ и $$ |\psi_2> $$ у состояния $$ |\psi> $$ (через квадрат модуля от скалярного произведения), то получатся значения $$ |\alpha_1|^2 $$ и $$ |\alpha_2|^2 $$. ## Физическая величина как оператор Физическим величинам, с которыми мы привыкли иметь дело, в пространстве квантовых состояний соответствуют так называемые операторы. Оператор - это некая функция (а точнее даже процедура), которая из одного вектора делает другой вектор по определённому правилу. Например, если мы хотим измерять какую-то величину $$ A $$ (энергия, координата, что угодно), то ей будет соответствовать оператор $$ \hat{A} $$ (пишем специально с крышкой, чтобы не путать с числами). Если мы проделаем измерение множество раз и соберём статистику, то получим такое значение на величину $$ A $$ в состоянии $$ |\psi> $$: $$ A = <\psi|\hat{A}|\psi> $$ Здесь нужно ещё добавить, что, чтобы в ответе $$ A $$ не получился комплексным, мы от физического оператора должны потребовать самосопряжённость $$ \hat{A}^+ = \hat{A} $$, Она определяется через скалярное произведение, но мы не будем на этом останавливаться детально. Для нас дальше будет важно, что операторы координаты $$ \hat{x} $$, импульса $$ \hat{p} $$, энергии $$ \hat{H} $$ и других реальных величин являются самосопряжёнными. ## Собственные состояния По аналогии с линейной алгеброй для оператора $$ \hat{A} $$ существуют так называемые собственные состояния $$ |A_1>, |A_2>, |A_3>, ... $$, для которых действие оператора равносильно умножению на соответствующее собственное значение (ограничимся дискретным случаем с разными собственными значениями): $$ \hat{A} |A_k> = A_k |A_k>, k=1, 2, 3 ... $$ Данные собственные состояния являются ортогональными, а состояния нормированными на единицу: $$ <A_i|A_j> = 0, i \neq j $$ $$ <A_k|A_k> = 1 $$ Данный набор собственных состояний можно объявить ортонормированным базисом (системой координат), тогда произвольное состояние $$ |\psi> $$ может быть разложено по этому базису: $$ |\psi> = \alpha_1 |A_1> + \alpha_2 |A_2> + \alpha_3 |A_3> + ... $$ $$ |\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2 + ... = 1 $$ Если мы произведём измерение $$ A $$ для состояния $$ |\psi> $$ мы очевидно получим математическое ожидание собственных значений $$ A_1, A_2, A_3 ... $$ с вероятностями $$ |\alpha_1|^2, |\alpha_2|^2, |\alpha_3|^2 ... $$: $$ A = <\psi|\hat{A}|\psi> = $$ $$ = (\alpha_1^* <A_1| + \alpha_1^* <A_1| + \alpha_2^* <A_3|) \hat{A} (\alpha_1 |A_1> + \alpha_2 |A_2> + \alpha_3 |A_3> + ...) = $$ $$ = (\alpha_1^* <A_1| + \alpha_1^* <A_1| + \alpha_2^* <A_3|) (\alpha_1 A_1 |A_1> + \alpha_2 A_2 |A_2> + \alpha_3 A_3 |A_3> + ...) = $$ $$ = A_1 |\alpha_1|^2 + A_2 |\alpha_2|^2 + A_3 |\alpha_3|^2 + ... $$ ## Связь координаты и импульса Пожалуй, это самое интересное и делает квантовую механику именно такой, какой мы её знаем. Данный факт ниоткуда не выводится, а является результатом осмысления многочисленных экспериментов. Он связывает координату и соответствующий ей импульс в фазовом пространстве: $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i $$ Квадратные скобки - это коммутатор: $$ [\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} $$. Так как очерёдность применения операторов к вектору $$ |\psi> $$ имеет значение, в общем случае разность очерёдности может быть не равна нулю. И для координаты и импульса она всегда равна мнимой единице $$ i $$. Часто данное соотношение пишут в виде $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar $$, где $$ \hbar $$ - постоянная Планка, но мы специально её также полагаем равной 1, чего всегда можно добиться, выбрав соответствующие единицы измерения для расстояния. ## Уравнение Шрёдингера Мы не можем пропустить такую важную часть как уравнение Шрёдингера. Оно относится к эволюции состояния во времени. Выведем это уравнение из того, что мы выше строили для гамильтониана. Для иллюстрации нам поможет простейший гамильтониан осциллятора $$ H(x, p) = \frac{x^2}{2} + \frac{p^2}{2} $$. В конце концов при малых возмущениях любая достаточно гладкая функция двух переменных в области локального минимума имеет ровно такой вид. Рассмотрев гамильтониан как оператор, вычислим его коммутаторы с $$ \hat{x} $$ и $$ \hat{p} $$: $$ [\hat{H}, \hat{x}] = -i \hat{p} $$ $$ [\hat{H}, \hat{p}] = i \hat{x} $$ Вспомним, что в классическом случае было $$ \dot{x} = p $$ и $$ \dot{p} = -x $$. Поэтому запишем для операторов: $$ \hat{\dot{x}} = i [\hat{H}, \hat{x}] $$ $$ \hat{\dot{p}} = i [\hat{H}, \hat{p}] $$ Здесь выражение в левой части нужно интерпретировать как оператор, отвечающий за производную по времени от данной величины, потому что сам оператор как сущность от времени не зависит и не изменяется. Написанное выше наводит нас на мысль, что для произвольного оператора $$ \hat{A} $$ и гамильтониана $$ \hat{H} $$ можно записать эволюцию: $$ \hat{\dot{A}} = i [\hat{H}, \hat{A}] $$ Вспомним, что для классического случая были скобки Пуассона для эволюции параметра $$ A $$: $$ \dot{A} = \\{ H, A \\} $$ Поэтому можно написать следующую эквивалентность классического и квантового миров: $$ \\{ H, A \\} \sim i [\hat{H}, \hat{A}] $$ Вообще это всё можно описать значительно более строго и формально, но мы здесь не преследуем полную математическую строгость, потому что выкладок и так много, а это существенно снижает читаемость данного материала. Теперь вернёмся к выводу уравнения Шрёдингера. В нулевой момент времени у нас есть некоторое состояние $$ |\psi_0> $$ и мы хотим получить другое состояние $$ |\psi_t> $$ в момент времени $$ t $$ с помощью некоторого оператора эволюции $$ \hat{U}_t $$: $$ |\psi_t> = \hat{U}_t |\psi_0> $$ Учитывая, что оба состояния должны в норме давать 1, оператор $$ \hat{U}_t $$ должен быть унитарный (то есть $$ \hat{U}_t \hat{U}^+_t = \hat{U}^+_t \hat{U}_t = 1 $$, символ $$ + $$ обозначает эрмитово сопряжение для оператора - аналог комплексного сопряжения для чисел). В нулевой момент времени оператор $$ \hat{U}_0 = 1 $$, а в первом приближении по $$ t $$ (разложение Тейлора при малых $$ t $$, линейное приближение) ввиду унитарности можно разложить как: $$ \hat{U}_t = 1 - i \hat{V} t + O(t^2) $$ Где $$ \hat{V} $$ - некий самосопряжённый оператор ($$ \hat{V} = \hat{V}^+ $$). Рассмотрим эволюцию произвольного параметра $$ A(t) $$. Тогда можно записать: $$ A(t) = <\psi_t| \hat{A} |\psi_t> = <\psi_0| \hat{U}^+_t \hat{A} \hat{U}_t |\psi_0> = $$ $$ = <\psi_0| (1 + i \hat{V} t) \hat{A} (1 - i \hat{V} t) |\psi_0> + O(t^2) = $$ $$ = A(0) + <\psi_0| i [\hat{V}, \hat{A}] |\psi_0> t + O(t^2) $$ Устремляя $$ t $$ к нулю, получаем производную $$ A $$ слева: $$ \dot{A} = <\psi_0| i [\hat{V}, \hat{A}] |\psi_0> $$ $$ \hat{\dot{A}} = i [\hat{V}, \hat{A}] $$ Можно вспомнить, что выше мы получали $$ \hat{\dot{A}} = i [\hat{H}, \hat{A}] $$, поэтому $$ \hat{V} $$ есть не что иное как гамильтониан $$ \hat{H} $$. Следовательно для эволюции состояния можно записать следующее: $$ |\psi_t> = (1 - i \hat{H} t + O(t^2)) |\psi_0> $$ Аналогично устремляя $$ t $$ к нулю, получаем производную для квантового состояния: $$ \frac{d}{dt} |\psi> = -i \hat{H} |\psi> $$ $$ i \frac{d}{dt} |\psi> = \hat{H} |\psi> $$ Это и есть уравнение Шрёдингера. Его можно также записать для произвольного момента времени: $$ |\psi_t> = e^{-i\hat{H}t} |\psi_0> $$ Если состояние $$ |\psi_0> $$ является собственным с энергией $$ E $$ (обозначим его за $$ |E> $$), то есть $$ \hat{H} |E> = E |E> $$, тогда эволюция просто равномерно "вращает" фазу, при этом само состояние остаётся собственным: $$ |E_t> = e^{-iEt} |E> $$ ## Квантование гармонического осциллятора Собственно, всё необходимое мы уже знаем, чтобы вычислить физику маятника для квантового случая. Исходно ему соответствует тот же гамильтониан: $$ H(x, p) = \frac{x^2}{2} + \frac{p^2}{2} $$ В квантовой механике гамильтониан становится оператором, зависящим от операторов координаты и импульса: $$ \hat{H} = \frac{\hat{x}^2}{2} + \frac{\hat{p}^2}{2} $$ Теперь изучим, какие собственные состояния есть у оператора $$ \hat{H} $$. В зависимости от них мы сможем сделать вывод о том, какие уровни энергии существуют для квантового случая. Имеем уравнение, в котором нужно найти все состояния $$ |E> $$ с соответствующими им энергиями $$ E $$: $$ \hat{H} |E> = E|E> $$ То, чем мы сейчас занимаемся, называется квантованием гармонического осциллятора. По итогам мы должны получить конкретику относительно существующих состояний. Решение здесь является не самым очевидным, зато подход типичен для большинства задач о квантовании простых систем. Главная идея состоит в том, чтобы изобрести так называемые операторы рождения и уничтожения. Эти операторы являются эрмитово сопряжёнными друг другу, а их коммутатор должен обладать определёнными свойствами. Обозначим некий оператор уничтожения за $$ \hat{a} $$ и соответствующий оператор рождения за $$ \hat{a}^+ $$, доказав дальше, что один из них понижает уровень энергии, а другой повышает. Для осциллятора они вводятся вот так (учитывая самосопряжённость операторов координаты и импульса): $$ \hat{a} = \frac{\hat{x} + i \hat{p}}{\sqrt{2}} $$ $$ \hat{a}^+ = \frac{\hat{x} - i \hat{p}}{\sqrt{2}} $$ Их коммутатор можно вычислить, исходя из соотношения $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i $$: $$ [\hat{a}, \hat{a}^+] = 1 $$ А также можно заметить, что гамильтониан $$ \hat{H} $$ можно выразить через эти операторы: $$ \hat{H} = \hat{a}^+ \hat{a} + \frac{1}{2} $$ В частности можно вычислить коммутаторы: $$ [\hat{H}, \hat{a}] = -\hat{a} $$ $$ [\hat{H}, \hat{a}^+] = \hat{a}^+ $$ Если существует некоторое собственное состояние $$ |E> $$, то мы можем подействовать на него оператором уничтожения $$ \hat{a} $$ и посмотреть, что получается с энергией нового состояния: $$ \hat{H} \hat{a} |E> = (\hat{a} \hat{H} + [\hat{H}, \hat{a}]) |E> = (\hat{a} E - \hat{a}) |E> = (E-1) \hat{a} |E> $$ То есть состояние $$ \hat{a} |E> $$ является собственным состоянием с энергией $$ (E-1) $$. Энергия понизилась на 1. Можно записать это состояние как $$ |E-1> = \hat{a} |E> $$. Аналогично можно показать, что $$ |E+1> = \hat{a}^+ |E> $$. Именно поэтому операторы $$ \hat{a}^+ $$ и $$ \hat{a} $$ называются операторами рождения и уничтожения (повышения и понижения) соответственно. Теперь покажем, что возможны не любые $$ E $$. Для этого рассмотрим похожий на $$ \hat{H} $$ оператор: $$ \hat{N} = \hat{a}^+ \hat{a} $$ Он также является самосопряжённым (ему соответствует некоторая физическая величина) и для него справедливы все те же выкладки и коммутационные соотношения, что мы выше выводили для $$ \hat{H} $$. Но здесь добавляется одно очень интересное свойство - положительная определённость, так как вектору $$ a|\psi> $$ соответствует сопряжение $$ <\psi|\hat{a}^+ $$, чья длина не может быть отрицательной: $$ <N| \hat{N} |N> = <N| \hat{a}^+ \hat{a} |N> = N \geq 0 $$ Данное соотношение справедливо для любого $$ N $$ и чтобы оно могло выполняться, у нас нет возможности иметь нецелое $$ N $$, потому что в противном случае подействовав на состояние $$ |N> $$ оператором $$ \hat{a} $$ более, чем $$ N $$ раз мы придём к состоянию с собственным значением оператора $$ \hat{N} $$ меньше нуля. Если же изначальное $$ N $$ целое, то, действуя оператором $$ \hat{a} $$, однажды мы получим состояние с нулевым собственным значением для оператора $$ \hat{N} $$ - обозначим его за $$ |0> $$ и назовём вакуумом: $$ \hat{N} |0> = 0 \cdot |0> = |Z> $$ Только не нужно путать вакуум $$ |0> $$ с нулевым вектором $$ |Z> $$ - это не одно и то же. Состояние вакуума физично и имеет длину (норму) равную 1, в то время как нулевой вектор имеет длину 0 и не физичен. $$ <0|0> = 1 $$ $$ <Z|Z> = 0 $$ Поэтому собственные значения оператора $$ \hat{N} $$ равны $$ 0, 1, 2, 3... $$, а все собственные состояния можно получить из вакуума оператором рождения $$ \hat{a}^+ $$: $$ |N> = (\hat{a}^+)^N |0> $$ Единственное, чтобы состояние $$ |N> $$ полностью имело физический смысл, его нужно отнормировать. Нетрудно из равенства $$ <N|\hat{a}^+\hat{a}|N> = N $$ по индукции доказать, что нормированный результат должен быть такой: $$ |N_{norm}> = \frac{(\hat{a}^+)^N}{\sqrt{N!}} |0> $$ Учитывая разницу операторов $$ \hat{H} $$ и $$ \hat{N} $$ на константу, собственные состояния у $$ \hat{H} $$ будут те же, но собственные значения будут больше на $$ \frac{1}{2} $$: $$ \hat{H} |N> = \left( N + \frac{1}{2} \right) |N> $$ Поэтому уровни энергии получаются: $$ E_N = N + \frac{1}{2}, N=0,1,2,3... $$ Это принципиально отличный от классического случая результат. Здесь не все значения энергии возможны, спектр оказался дискретным. Потому и механика называется квантовой. Но стоит добавить, что не всегда в квантовом случае будет наблюдаться дискретный спектр энергии, так как всё в конечном счёте зависит от системы и её конкретного гамильтониана. ## Резюме Мы специально не касались волновой функции $$ \psi(x) $$, явного представления оператора импульса как производной, неопределённости Гейзенберга, полиномов Эрмита и ряда других часто связанных с квантовой механикой тем, потому что это было бы уже в каком-то смысле излишней конкретикой. Если не верите, то можете в качестве домашнего задания попробовать вывести это всё самостоятельно всего из нескольких соображений. А именно: для оператора координаты $$ \hat{x} $$ существуют собственные состояния $$ |x> $$ с соответствующими собственными значениями $$ x $$ (непрерывный спектр). Волновой функцией для состояния $$ |\psi> $$ по определению называется следующее скалярное произведение $$ <x|\psi> = \psi(x) $$. Докажите, что оператор импульса действует на волновую функцию как $$ -i \frac{\partial}{\partial x} $$. Также для произвольного состояния $$ |\psi> $$ можете вычислить произведение корней из дисперсий координаты и импульса, получив значение $$ \geq \frac{1}{2} $$ - это и есть соотношение неопределённости Гейзенберга. А записав и решив дифференциальное уравнение для собственных состояний гармонического осциллятора через $$ \psi(x) $$, получите полиномы Эрмита в качестве решения (умноженные на $$ e^{-\frac{x^2}{2}} $$). Но как вы уже видите, все эти домашние задачки содержат в себе мало физики, а фокусируются на довольно сложных и долгих вычислениях. Собственно, это является отличной иллюстрацией к тому, почему квантовая механика выглядит слишком математизированной в любом учебнике. По моему мнению самым интересным является процесс квантования, который в других случаях выглядит аналогично, но может содержать гораздо более сложные вычисления. Например, пространственных измерений может быть больше одного, между ними могут быть топологические или калибровочные связи. Или же система может быть квантовым полем. Тем не менее основную идею квантовой физики можно понять именно через гармонический осциллятор, чему и посвящена эта небольшая статья.